Борис Георгиевич Кузнецов начал заниматься боксом в 1958 году под руководством тренера Ю. Белокосова. Первый официальный бой провёл в 14-летнем возрасте в 1961 году. С 1965 года Борис начал приобретать известность в кругах тренеров и специалистов. Боксёра отличала нестандартная манера ведения боя: во время поединка он работал в открытой стойке с опущенными руками, и многие его сравнивали со знаменитым боксёром Виктором Агеевым. Резкость движений, неожиданность для соперника позволяли очень зрелищно смотреться на ринге. В 1965 и 1966 годах Борис Кузнецов становится чемпионом юношеского чемпионата СССР, в 1966 году выиграл международный турнир «Олимпийские надежды» (Берлин).

Под руководством тренера Александра Чаплыгина в 1970 и 1971 годах становится серебряным призёром чемпионата СССР, в 1972 году — чемпионом СССР. В 1972 году на XX летних Олимпийских играх в Мюнхене Борис Кузнецов завоевал золото в полулёгком весе, выиграв финальный бой у кенийца Филипа Варуинге со счётом 3:2. В 1974 году второй раз становится чемпионом СССР, победив в финальном бою Валериана Соколова со счётом 3:2. В этом же году Кузнецов стал серебряным призёром первого чемпионата мира по боксу в Гаване, проиграв в решающем поединке американцу Говарду Дэвису.

Провёл 249 боёв, в 237 из них одержал победу. После завершения карьеры Борис Кузнецов создал детско-юношескую школу бокса, став её директором. При жизни Бориса Георгиевича в Астрахани начал проводиться ежегодный всероссийский турнир класса «Б» среди взрослых и юношей его имени, после смерти — в память о выдающемся советском боксёре