Впервые пришёл в секцию бокса в 1955 году. Через пять лет впервые победил действующего чемпиона СССР — Юрия Грымова. Тренировался у В. М. Тренина. В 1960 году накануне Олимпийских игр в Риме, в возрасте 22 лет являлся чемпионом СССР в первом среднем весе. На самих играх сказалось отсутствие опыта международных поединков, до стадии ½ финала советский спортсмен дошёл без проблем, добившись лёгких побед над соперниками из Ганы и Австралии. В полуфинале же в равной борьбе уступил со счётом 2:3 будущему чемпиону игр американцу Уилберту Макклюру. Американец, знавший о силе советского спортсмена в боксировании с дальней дистанции, смог втянуть Бориса в ближний бой, где владел превосходством, что и предопределило его победу. В итоге Лагутин уехал из Рима с бронзовой медалью.

В течение следующих четырёх лет Лагутин дважды становился чемпионом Европы, четырежды чемпионом СССР, но главной целью оставалась победа на Олимпийских играх. В Токио Лагутин уезжал капитаном советских боксёров и добился победы. На пути к финалу советским боксёром были повержены Пауль Хог из Германии, Хосе Чирино из Аргентины, Эдди Дэвис из Ганы и Юзеф Гжешик из Польши. В финальном поединке Борис Лагутин без особых проблем со счётом 4:1 добился победы над французом Жозефом Гонсалесом.

В 1968 году Борис Николаевич принял участие в играх в Мехико. Впервые в истории советский боксер принимает участие в 3-х Олимпиадах подряд. В первых двух олимпийских боях Лагутин победил нокаутом, отправив испанца Мойзеса Фахадро и представителя Объединенных Эмиратов Саеда Эль-Нахаза на пол ринга во вторых раундах. Следующими на пути к финалу были повержены румын Ион Ковачи и немец Гюнтер Майер. В финале советскому спортсмену противостоял кубинец Роландо Гарбей. Бой выдался сложным, однако благодаря нокдауну во втором раунде все пять судей отдали победу спортсмену из СССР.

После Олимпийских игр Борис Николаевич Лагутин завершил карьеру спортсмена.

Окончив МГУ им. Ломоносова Лагутин переходит на работу в ЦК ВЛКСМ ответственным организатором отдела спортивной и оборонно-массовой работы. Затем его назначают заместителем председателя Российского республиканского совета сообщества "Спартак" (1982-1987). В этот период Борис Николаевич принимает непосредственное участие в организации мероприятий, направленных на оздоровление молодежи, организации клубов по месту жительства. Лагутин выступает перед детьми, его часто можно увидеть на фабриках, заводах, в общежитиях, тюрьмах и колониях. При активном участии Лагутина общество "Спартак" стало одним из ведущих в стране спортивным обществом по подготовке спортсменов, успешно защищающих флаг страны на чемпионатах Европы, Мира и Олимпийских играх.

В 1987 году Бориса Николаевича назначают  начальником управления массовой физической культуры и спорта ВС ДСО профсоюзов. За это время по его инициативе было сделано немало для создания материально технической базы физической культуры на предприятиях, в учреждениях, учебных заведениях и в сельской местности.

В 1991 году вместе с единомышленниками создает фонд "Оздоровление и спорт" и избирается председателем его правления. Фонд стал одним из немногих организаций в России, которые реально помогают возродить физкультурно-оздоровительную и спортивную работу по месту жительства и уделяют внимание подросткам, совершившим правонарушения и находящимся в пенитенциарных учреждениях. Не прерывает и связи с боксом, в период 1991-1992 является заместителем председателя Федерации бокса СССР. Фонд "Оздоровление и спорт" тесно сотрудничает с Международной конфедерацией спортивных организаций, советником президента которой с 1996 года и является Борис Николаевич. Обе организации ведут значительную оздоровительную работу, с том числе с инвалидами Великой Отечественной войны. При активном содействии Международной конфедерации спортивных организаций, Олимпийского комитета России, Фонда спортивных комитетов на местах российские инвалиды впервые стали участвовать в Паралимпийских играх. Лагутин участвует в традиционных мероприятиях, посвященных памяти ветеранов войны и спорта, учреждает призы, награды. Является членом президиума Российского общества "Спартак", Московской Федерации инвалидов.

Ежегодно в Москве проходят соревнования на призы Бориса Лагутина, создан спортивный клуб его имени.
Лагутин — заслуженный работник физической культуры РСФСР (1982). Награжден орденами "Трудового Красного Знамени" (1965), "Знак Почета" (1968), "Дружбы Народов" (1981), медалями ордена "За заслуги перед Отечеством" IV и III степеней (1996, 1998), Почетной грамотой Президента России (2003), медалями "За трудовое отличие" (1960), "Ветеран труда" (1988), "В память 850-летия Москвы" (1997), а также Олимпийским орденом.