Александр Николаевич Кошкин родился в Москве. Боксом стал заниматься с 1970 года, тренировался у заслуженного тренера СССР Бориса Грекова.

В 1979 году выиграл чемпионат СССР и Спартакиаду народов СССР. Ему было доверено право представлять Советский Союз в категории до 71 кг на грядущей московской Олимпиаде, где он дошёл до финала, в упорном поединке уступив кубинцу Армандо Мартинесу. На следующий год он стал чемпионом Европы в Тампере (Финляндия), а в 1982 году — чемпионом мира в Мюнхене (Германия).

Кошкин боксировал преимущественно в классическом стиле на дальней дистанции, был техничным боксёром с нокаутирующим ударом. После окончания спортивной карьеры в 1983 году работал тренером.

Скончался после тяжелой болезни 16 октября 2012 года в возрасте 53 лет